Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Giải phương trình \(P =  - 1,\) tìm \(x,\) đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

+) Giải bất phương trình đã cho với điều kiện \(x > 9\) rồi tìm \(m.\)

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn \(P.\)

Điều kiện: \(x > 0,x \ne 4,x \ne 9\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \frac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x  - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \frac{{8x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \frac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right) + 8x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}:\frac{{\sqrt x  - 1 - 2\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\ = \frac{{8\sqrt x  + 4x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{3 - \sqrt x }}\\ = \frac{{4\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x  - 3}}\\ = \frac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}}\end{array}\)

b) Tìm \(x\)  để  \(P =  - 1.\)

Điều kiện: \(x > 0,x \ne 4,x \ne 9\) .

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,P =  - 1 \Leftrightarrow \frac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}} =  - 1 \Leftrightarrow 4x + \sqrt x  - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 4x + 4\sqrt x  - 3\sqrt x  - 3 = 0 \Leftrightarrow 4\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) - 3\left( {\sqrt x  + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {4\sqrt x  - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  =  - 1\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\\sqrt x  = \frac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{9}{{16}}\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

c) Tìm \(m\)  để với mọi giá trị \(x > 9\) ta có: \(m\left( {\sqrt x  - 3} \right)P > x + 1.\)  

Điều kiện: \(x > 0,x \ne 4,x \ne 9\) .

\(\begin{array}{l}\forall x > 9:m\left( {\sqrt x  - 3} \right)P > x + 1 \Leftrightarrow m\left( {\sqrt x  - 3} \right).\frac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}} > x + 1\\ \Leftrightarrow m.4x > x + 1 \Leftrightarrow m > \frac{{x + 1}}{{4x}}\end{array}\)

Ta có: với mọi giá trị \(x > 9 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 9 + 1 = 10\\4x > 36\end{array} \right..\)  

Vậy \(m > \frac{{10}}{{36}} = \frac{5}{{18}}.\)