Phương pháp giải:

- Khảo sát hàm số trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và lập BBT của hàm số.

- Dựa vào BBT xác định GTNN của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = \dfrac{1}{{x + 1}} + x\)xác định trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

Ta có :  \(y' =  - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + 1 = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \ge 0,\,\,\forall x \in \)\(\left[ {0; + \infty } \right)\)

BBT:

Dựa vào BBT ta có: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} y = y\left( 0 \right) = 1\).

Chọn C.