Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\): Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Tính chiều cao và diện tích đáy của lăng trụ.

- Sử dụng công thức tính thể tích lăng trụ: \({V_{lt}} = {S_{day}}.h\) trong đó \({S_{day}}\) và \(h\) lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(D,\,\,E\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC\).

Vì tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(BE \bot AC\) và \(BE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\,\,\,{S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Gọi \(F\) là điểm trên cạnh \(AC\) sao cho \(F\) là trung điểm của \(AE\) ta có:

\(DF\parallel BE\) (do \(DF\) là đường trung bình của tam giác \(ABE\)), mà \(BE \bot AC\) nên \(DF \bot AC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot DF\\AC \bot A'D\,\,\,\left( {A'D \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AC \bot \left( {DFA'} \right)\) \( \Rightarrow AC \bot A'F\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ACC'A'} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\\left( {ACC'A'} \right) \supset A'F \bot AC\\\left( {ABC} \right) \supset DF \bot AC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {ACC'A'} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'F;DF} \right)\).

\( \Rightarrow \angle DFA' = {45^0} \Rightarrow \Delta DFA'\) vuông cân tại \(D\).

\( \Rightarrow A'D = DF = \dfrac{1}{2}.BE = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'D = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}}}{{16}}\).

Chọn: B