Phương pháp giải:

- Gọi $z = x + yi$, thay vào giả thiết $\left| {z + 2i} \right| = \left| {z - 4} \right|$ tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$.

- Xác định tọa độ các điểm $A,\,\,B$ và $C$.

- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {A;BC} \right).BC$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $z = x + yi$ ta có:

$\begin{array}{l}\left| {x + yi + 2i} \right| = \left| {x + yi - 4} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {y^2}} \\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4y + 4 = {x^2} - 8x + 16 + {y^2}\\ \Leftrightarrow 8x + 4y - 12 = 0\\ \Leftrightarrow 2x + y - 3 = 0\end{array}$

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $2x + y - 3 = 0\,\,\left( d \right)$.

Đường thẳng $d$ cắt trục $Ox$ tại $A\left( {\dfrac{3}{2};0} \right)$, cắt trục $Oy$ tại điểm $B\left( {0;3} \right)$.

Điểm $C$ là điểm biểu diễn số phức $z =  - 3i$ nên $C\left( {0; - 3} \right)$.

Ta có $BC = \sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2}}  = 6$.

Do $B,\,\,C \in Oy$ nên $d\left( {A;BC} \right) = d\left( {A;Oy} \right) = \left| {{x_A}} \right| = \dfrac{3}{2}$.

Vậy ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {A;BC} \right).BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}.6 = \dfrac{9}{2}$.

Chọn C.