Phương pháp giải:

- Gọi \(z = x + yi\), thay vào giả thiết \(\left| {z + 2i} \right| = \left| {z - 4} \right|\) tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\).

- Xác định tọa độ các điểm \(A,\,\,B\) và \(C\).

- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {A;BC} \right).BC\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(z = x + yi\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {x + yi + 2i} \right| = \left| {x + yi - 4} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {y^2}} \\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4y + 4 = {x^2} - 8x + 16 + {y^2}\\ \Leftrightarrow 8x + 4y - 12 = 0\\ \Leftrightarrow 2x + y - 3 = 0\end{array}\)

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(2x + y - 3 = 0\,\,\left( d \right)\).

Đường thẳng \(d\) cắt trục \(Ox\) tại \(A\left( {\dfrac{3}{2};0} \right)\), cắt trục \(Oy\) tại điểm \(B\left( {0;3} \right)\).

Điểm \(C\) là điểm biểu diễn số phức \(z =  - 3i\) nên \(C\left( {0; - 3} \right)\).

Ta có \(BC = \sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2}}  = 6\).

Do \(B,\,\,C \in Oy\) nên \(d\left( {A;BC} \right) = d\left( {A;Oy} \right) = \left| {{x_A}} \right| = \dfrac{3}{2}\).

Vậy \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {A;BC} \right).BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}.6 = \dfrac{9}{2}\).

Chọn C.