Phương pháp giải:

Hình chóp có thể tích \(V,\) diện tích đáy \(S\) thì chiều cao của khối chóp là: \(h = \dfrac{{3V}}{S}.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(AD.\)

\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Ta có: \(AB\parallel \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {SAD} \right)\) kẻ \(HK \bot SD\,\,\left( {K \in SD} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SD\\HK \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HK\).

Ta có: \(SH = \dfrac{{3{V_{SABCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{3{a^3}}}{{{a^2}}} = 3a\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \(SHD\) vuông tại \(H\) ta có:

\(HK = \dfrac{{SH.HD}}{{\sqrt {S{H^2} + H{D^2}} }} = \dfrac{{3a.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{3a}}{{\sqrt {37} }}\).

Vậy \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = 2HK = \dfrac{{6a}}{{\sqrt {37} }}\).

Chọn A.

Chọn A.