Phương pháp giải:

Phân chia khối đa diện

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({V_{AMDBNE}} = {V_{C'.CDE}} - {V_{CC'ABMN}}\)\( = {V_{C'.CDE}} - \left( {V - {V_{C'.A'B'NM}}} \right)\)

+) So sánh \({V_{C'.CDE}}\) với \(V\).

Ta có: \(\dfrac{{{S_{CDE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{CD}}{{CA}}.\dfrac{{CE}}{{CB}}\)

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{AM}}{{CC'}} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow \dfrac{{CD}}{{CA}} = 2\); \(\dfrac{{EB}}{{EC}} = \dfrac{{BN}}{{CC'}} = \dfrac{1}{3}\)\( \Rightarrow \dfrac{{CE}}{{CB}} = \dfrac{3}{2}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{CDE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{CD}}{{CA}}.\dfrac{{CE}}{{CB}} = 2.\dfrac{3}{2} = 3\).

Lại có chóp \(C'.CDE\) và lăng trụ có cùng chiều cao.

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{C'.CDE}}}}{V} = \dfrac{1}{3}\dfrac{{{S_{CDE}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1 \Rightarrow {V_{C'.CDE}} = V\)

+) So sánh \({V_{C'.A'B'NM}}\) với \(V\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{S_{A'B'NM}}}}{{{S_{ABB'A'}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {A'M + B'N} \right).d\left( {A';BB'} \right)}}{{BB'.d\left( {A';BB'} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2}BB' + \dfrac{2}{3}BB'} \right)}}{{BB'}} = \dfrac{7}{{12}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{C'.A'B'NM}}}}{{{V_{C'.ABB'A'}}}} = \dfrac{{{S_{A'B'NM}}}}{{{S_{ABB'A'}}}} = \dfrac{7}{{12}}\)\( \Rightarrow {V_{C'.A'B'NM}} = \dfrac{7}{{12}}{V_{C'.ABB'A'}}\)

Mà \({V_{C'.ABB'A'}} = \dfrac{2}{3}V\) nên \({V_{C'.A'B'NM}} = \dfrac{7}{{12}}.\dfrac{2}{3}V = \dfrac{7}{{18}}V\).

Vậy \({V_{AMDBNE}} = V - \left( {V - \dfrac{7}{{18}}V} \right) = \dfrac{7}{{18}}V\) hay \(\dfrac{{{V_{AMDBNE}}}}{V} = \dfrac{7}{{18}}\).

Chọn D.