Phương pháp giải:

- Gọi ba kích thước của hình hộp chữ nhật là \(a,\,\,b,\,\,c\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c > 0} \right)\), theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có \(ac = {b^2}\).

- Sử dụng công thức thể tích khối hộp chữ nhật \(V = abc\), tính \(b,\,\,ac\).

- Công thức tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là: \({S_{tp}} = 2\left( {ab + bc + ca} \right)\). Áp dụng BĐT Cô-si.

Lời giải chi tiết:

Gọi ba kích thước của hình hộp chữ nhật là \(a,\,\,b,\,\,c\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c > 0} \right)\), theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có \(ac = {b^2}\).

Thể tích khối hộp là \(abc = 1000 \Leftrightarrow {b^3} = 1000\)\( \Leftrightarrow b = 10\)\( \Rightarrow ac = {10^2} = 100\).

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là:

\(\begin{array}{l}{S_{tp}} = 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 2b\left( {a + c} \right) + 2.ac\\\,\,\,\,\,\,\, = 20\left( {a + c} \right) + 200\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \(a,\,\,c\) ta có \(a + c \ge 2\sqrt {ac}  = 2\sqrt {100}  = 20\).

Khi đó \({S_{tp}} \ge 20.20 + 200 = 600\).

Vậy \({S_{tp\,\,\max }} = 600\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = c = 10\). Khi đó hình hộp chữ nhật là hình lập phương cạnh \(10\).

Chọn A.