Phương pháp giải:

- Đặt \(OA = x\), tính \(AD\) theo \(x\) và tính diện tích hình chữ nhật \(ABCD\).

- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(OA = x\,\,\left( {0 < x < 10} \right) \Rightarrow AB = 2x.\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAD\) ta có: \(AD = \sqrt {100 - {x^2}} \).

Khi đó \({S_{ABCD}} = AB.AD = 2x\sqrt {100 - {x^2}} \).

Ta có: \(S' = 2\sqrt {100 - {x^2}}  + \dfrac{{ - 4{x^2}}}{{2\sqrt {100 - {x^2}} }} = 0\)

\( \Leftrightarrow 4\left( {100 - {x^2}} \right) - 4{x^2} = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 50\)\( \Leftrightarrow x = 5\sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \({S_{\max }} = S\left( {5\sqrt 2 } \right) = 100\,\,c{m^2}.\)

Chọn A.