Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

- Sử dụng định lí Pytago tính chiều cao của khối chóp.

- Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp \({V_{chop}} = \dfrac{1}{3}{S_{day}}.h\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).

Mà \(BA \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SBC} \right)\).

\( \Rightarrow SB\) là hình chiếu của \(SC\) trên \(\left( {SAB} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {SC;SB} \right) = \angle BSC = {30^0}\).

Tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\) có \(\angle BSC = {30^0};\,\,BC = a\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow SB = BC.\cot {30^0} = a\sqrt 3 .\sqrt 3  = 3a\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SAB\) ta có:

\(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}}  = \sqrt {9{a^2} - {a^2}}  = 2a\sqrt 2 \).

Ta có: \({S_{ABCD}} = AB.BC = a.a\sqrt 3  = {a^2}\sqrt 3 \).

Vậy \(V = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}}\) \( = \dfrac{1}{3}.2a\sqrt 2 .{a^2}\sqrt 3  = \dfrac{{2\sqrt 6 {a^3}}}{3}\).

Chọn D.