Câu hỏi:
Một viên đá có hình dạng là khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng \(a\). Người ta cắt khối đá đó bởi mặt phẳng song song với đáy của khối chóp để chia khối đá thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích của thiết diện khối đá bị cắt bởi mặt phẳng nói trên. (Giả thiết rằng tổng thể tích của hai khối đá sau vẫn bằng thể tích của khối đá ban đầu).
- A \(\dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt[3]{4}}}.\)
- B \(\dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt[3]{2}}}.\)
- C \(\dfrac{{2{a^2}}}{{\sqrt 3 }}.\)
- D \(\dfrac{{{a^2}}}{4}.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng tỉ số thể tích.
Lời giải chi tiết:
Gọi V là thể tích của hình chóp đã cho.
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với đáy cắt \(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD\) lần lượt tại \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\).
Nên \(MNPQ\) là hình vuông.
Đặt \(\dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{{SN}}{{SB}} = \dfrac{{SP}}{{SC}} = \dfrac{{SQ}}{{SD}} = k\).
Ta có \(\dfrac{{{V_{SMNP}}}}{{{V_{SABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SB}}.\dfrac{{SP}}{{SC}} = {k^3}\) \( \Rightarrow {V_{SMNP}} = \dfrac{{{k^3}}}{2}V\)
Tương tự \({V_{SMPQ}} = \dfrac{{{k^3}}}{2}V\) \( \Rightarrow {V_{SMNPQ}} = {k^3}V\)
Mà theo giả thiết ta có \({V_{SMNPQ}} = \dfrac{1}{2}V\).
Nên \({k^3} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow k = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\).
Mà \(\dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = k = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\) \( \Rightarrow MN = \dfrac{a}{{\sqrt[3]{2}}}\).
\( \Rightarrow {S_{MNPQ}} = M{N^2} = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt[3]{4}}}\).
Chọn A.
Câu hỏi trước
