Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức tỉ số thể tích: Cho chóp \(S.ABC\), trên các cạnh \(SA\), \(SB\), \(SC\) lần lượt lấy các điểm \(A'\), \(B'\), \(C'\). Khi đó ta có: \(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\).

- Sử dụng công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện đều cạnh \(a\): \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

Lời giải chi tiết:

Trên đoạn \(SB,\,\,SC\) lần lượt lấy \(H,\,\,K\) sao cho \(SH = SK = SA = a\).

Dễ thấy các tam giác \(SAK,\,\,SHK,\,\,SAH\) là các tam giác đều.

\( \Rightarrow AK = HK = AH = a\).

\( \Rightarrow SAHK\) là tứ diện đều cạnh \(a\).

Áp dụng công thức tính nhanh ta có \({V_{SAHK}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.\)

Mặt khác \(\dfrac{{{V_{SAHK}}}}{{{V_{SABC}}}} = \dfrac{{SH}}{{SB}}.\dfrac{{SK}}{{SC}} = \dfrac{a}{{2a}}.\dfrac{a}{{4a}} = \dfrac{1}{8}\).

Vậy \({V_{SABC}} = 8{V_{S.AHK}}\)\( = 8.\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{3}.\)

Chọn C.