Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp \({V_{chop}} = \dfrac{1}{3}{S_{day}}.h\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Khi đó ta có \(AO = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{2a\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2 \)

Xét tam giác \(SAO\) vuông tại \(O\) có \(AO = a\sqrt 2 ;\,\,\,SA = 3a.\)

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} \) \( = a\sqrt 7 \).

Diện tích hình vuông \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 7 .4{a^2} = \dfrac{{4\sqrt 7 {a^3}}}{3}.\)

Chọn D.