Phương pháp giải:

Tìm chân đường cao hạ từ \(S\) xuống mp\(\left( {ABCD} \right)\).

Xác định góc giữa \(SC\) và mặt phẳng đáy để tính chiều cao của khối chóp.

Tính cạnh hình vuông \(ABCD\)

Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là     \(V = \dfrac{1}{3}h.{S_{ABCD}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\). Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) nên \(SH \bot AB\)

Ta có :

      \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \bot AB\\SH \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \) Góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SC\) và \(CH\) nên \(\widehat {SCH} = 30^\circ \)

Ta có \(\tan SCH = \dfrac{{SH}}{{HC}} \Leftrightarrow \tan 30^\circ  = \dfrac{{SH}}{{HC}} \Leftrightarrow SH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}HC\)

Tam giác \(SHD\)vuông tại \(H\)  có \(SD = \sqrt 5 a\) và \(HD = HC\) nên ta có :

                     \(\begin{array}{l}H{C^2} + S{H^2} = S{D^2}\\ \Leftrightarrow H{C^2} + {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}HC} \right)^2} = 5a\\ \Rightarrow HC = \dfrac{{\sqrt {15} }}{2}a \Rightarrow SH = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}a\end{array}\)

\(ABCD\) là hình vuông nên ta có :

               \(\begin{array}{l}B{C^2} + B{H^2} = H{C^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{5}{4}B{C^2} = \dfrac{{15}}{4}{a^2}\\ \Rightarrow BC = \sqrt 3 a\end{array}\)

Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là         

                                 \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.B{C^2} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}a.{\left( {\sqrt 3 a} \right)^2} = \dfrac{{\sqrt 5 {a^3}}}{2}\)

Chọn A.