Phương pháp giải:

Sử dụng đạo hàm rồi lập bảng biến thiên.

Lời giải chi tiết:

Hàm số  \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - ({x^2} - x + 1)}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

\(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) bằng 3.

Chọn A.