Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AC = 2a\), mặt bên \(SAC\) là tam giác đều và \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right).\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
- A \(\frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}.\)
- B \(\frac{{2\sqrt {10} {a^3}}}{3}.\)
- C \({a^3}\sqrt {10.} \)
- D \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}.\)
Phương pháp giải:
- Tìm và tính chiều cao của hình chóp.
- Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\).
Vì tam giác \(SAC\) đều nên \(SH \bot AC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\\left( {SAC} \right) \supset SH \bot AC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Tam giác \(SAC\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
\(\Delta ABC\) vuông cận tại \(B\) có \(AC = 2a\) \( \Rightarrow AB = BC = a\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 .a\sqrt 2 = {a^2}\).
Vây \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)
Chọn D.
Câu hỏi trước
