Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định.

- Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số chứa căn: \(\left( {\sqrt {f\left( x \right)} } \right)' = \frac{{f'\left( x \right)}}{{2\sqrt {f\left( x \right)} }}\)

- Lập bảng biến thiên rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = \sqrt {4 + x}  + \sqrt {4 - x} \) xác định khi \( - 4 \le x \le 4\).

Ta có \(y' = \frac{1}{{2\sqrt {4 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {4 - x} }}\)

        \(\begin{array}{l}y' = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{2\sqrt {4 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {4 - x} }} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {4 + x}  = \sqrt {4 - x} \\ \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 4.

Chọn A.