Phương pháp giải:

Tìm chân đường cao \(H\) hạ từ \(D\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)

Tính độ dài đường cao \(DH\) đó.

Thể tích của khối chóp \(D.ABC\) được tính bằng \({V_{D.ABC}} = \dfrac{1}{3}DH.{S_{\Delta ABC}}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\). Tam giác \(BCD\) vuông cân tại \(D\) nên \(DH \bot BC\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {BCD} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {BCD} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\DH \bot BC\\DH \subset \left( {DBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow DH \bot \left( {ABC} \right)\)

Tam giác \(DBC\) vuông tại \(D\) nên đường trung tuyến \(DH = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a}{2}\)

Tam giác \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) nên \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}A{B^2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2}\)

Vậy thể tích của tứ diện \(ABCD\) là  \({V_{D.ABC}} = \dfrac{1}{3}DH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{24}}\)

Chọn D.