Câu hỏi:
Cho biểu thức \(P = \left( {\sqrt x - \frac{{x + 2}}{{\sqrt x + 1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{\sqrt x - 4}}{{x - 1}}} \right)\)
Câu 1:
Rút gọn \(P.\)
- A \(P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\)
- B \(P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\)
- C \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}\)
- D \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\)
Phương pháp giải:
Qui đồng, khử mẫu và rút gọn.
Lời giải chi tiết:
Điều kện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1,\,\,x \ne 4.\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\sqrt x - \frac{{x + 2}}{{\sqrt x + 1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{\sqrt x - 4}}{{x - 1}}} \right)\\\,\,\,\, = \left( {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {x + 2} \right)}}{{\sqrt x + 1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right)\\\,\,\,\, = \frac{{x + \sqrt x - x - 2}}{{\sqrt x + 1}}:\frac{{x - \sqrt x + \sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}:\frac{{x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\\,\, = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}.\frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}.\end{array}\)
Chọn A.
Câu 2:
Tính giá trị của \(P\) với \(x = 4 - 2\sqrt 3 \).
- A \(5 - 3\sqrt 3 \)
- B \(5 + 3\sqrt 3 \)
- C \(\frac{{5 + 3\sqrt 3 }}{2}\)
- D \(\frac{{5 - 3\sqrt 3 }}{2}\)
Phương pháp giải:
Rút gọn \(x\) rồi thay vào biểu thức đã rút gọn được ở câu a.
Lời giải chi tiết:
Điều kện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1,\,\,x \ne 4.\)
Ta có: \(x = 4 - 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2}\)\( \Rightarrow \sqrt x = \sqrt 3 - 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Thay vào \(P\) ta có: \(P = \frac{{\sqrt 3 - 1 - 1}}{{\sqrt 3 - 1 + 2}} = \frac{{\sqrt 3 - 2}}{{\sqrt 3 + 1}}\) \( = \frac{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{3 - 1}} = \frac{{5 - 3\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy với \(x = 4 - 2\sqrt 3 \) thì \(P = \frac{{5 - 3\sqrt 3 }}{2}\)
Chọn D.
Câu 3:
Tìm số nguyên \(x\) để biểu thức \(P\) có giá trị nguyên.
- A \(x = 1\)
- B \(x \in \left\{ { - 3; - 1;1;3} \right\}\)
- C \(x \in \left\{ { - 3; - 1;3} \right\}\)
- D Không có \(x\) thỏa mãn
Phương pháp giải:
Biến đổi \(P\) và sử dụng tính chất của ước bội để suy ra điều kiện \(P \in \mathbb{Z}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 2 - 3}}{{\sqrt x + 2}}\) \( = 1 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}}\)
Vì \(x \in \mathbb{Z},1 \in \mathbb{Z}\) nên để \(P \in \mathbb{Z}\) thì \(\sqrt x + 2 \in U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\)
Bảng giá trị:
Vậy không có giá trị \(x\) nguyên thỏa mãn điều kiện xác định để biểu thức \(P\) có giá trị nguyên.
Chọn D.
Câu hỏi trước
