Phương pháp giải:

a) Gọi $a,b$ lần lượt là tháng sinh và ngày sinh của học sinh $\left( {a = \overline {1;12} ;\,\,b = \overline {1;31} ;\,\,\,a,b \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

Lập biểu thức mối quan hệ $a,b$.

Sử dụng tính chất chia hết của một tổng để suy ra kết luận.

b) Lần lượt thay $a \in \left\{ {2;4;6;8;10;12} \right\}$ vào biểu thức $a.31 + b.12$ và kiểm tra.

Lời giải chi tiết:

a) Tháng sinh của bạn đó có là số tự nhiên chẵn không? Giải thích.

Gọi $a,b$ lần lượt là tháng sinh và ngày sinh của học sinh $\left( {a = \overline {1;12} ;\,\,b = \overline {1;31} ;\,\,\,a,b \in {N^*}} \right)$

Theo bài ra ta có :

$\begin{array}{l}a.31 + b.12 = 284\\ \Rightarrow a.31 = 284 - b.12\end{array}$

Vì $284$ chẵn, $b.12$ chẵn nên $a.31$ chẵn. Suy ra $a$ là số tự nhiên chẵn.

Vậy tháng sinh của bạn đó có là số tự nhiên chẵn.

b) Hãy tìm ngày sinh và tháng sinh của bạn học sinh đó.

+) Với $a = 2$ thì

$\begin{array}{l}2.31 + b.12 = 284\\62 + b.12\,\,\,\,\,\, = 284\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b.12\,\,\,\,\,\, = 284 - 62\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b.12\,\,\,\,\, = 222\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 222:12\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}$

+) Với $a = 4$ thì:

$\begin{array}{l}4.31 + b.12 = 284\\124 + b.12 = 284\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b.12 = 284 - 124\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b.12 = 160\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b\,\,\,\,\,\,\, = 160:12\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}$

+) Với $a = 6$ thì:

$\begin{array}{l}6.31 + b.12 = 284\\186 + b.12 = 284\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b.12 = 284 - 186\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b.12 = 98\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b\,\,\,\,\,\,\,\, = 98:12\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}$

+) Với $a = 8$ thì:

$\begin{array}{l}8.31 + b.12 = 284\\248 + b.12 = 284\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b.12 = 284 - 248\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b.12 = 36\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 36:12\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Do đó $a = 8,b = 3$.

+) Với $a = 10$ thì:

$\begin{array}{l}10.31 + b.12 = 284\\310 + b.12 = 284\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b.12 = 284 - 310\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}$

+) Với $a = 12$ thì:

$\begin{array}{l}12.31 + b.12 = 284\\372 + b.12 = 284\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b.12 = 284 - 372\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}$

Vậy bạn học sinh đó sinh ngày $3$ tháng $8$.