Câu hỏi:
Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) trùng với trung điểm của cạnh \(AB\), góc giữa \(A'C\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng 450 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
- A \(\dfrac{{\sqrt 5 {a^3}}}{2}\)
- B \(\dfrac{{\sqrt 5 {a^3}}}{{12}}\).
- C \(\dfrac{{\sqrt 5 {a^3}}}{6}\)
- D \(\dfrac{{3\sqrt 5 {a^3}}}{2}\).
Phương pháp giải:
Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) là: \(V = Sh.\)
Lời giải chi tiết:
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB.\)
Khi đó ta có: \(A'H \bot \left( {ABCD} \right).\)
\( \Rightarrow H'C\) là hình chiếu của \(A'C\) trên \(\left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow \angle \left( {A'C,\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {A'C,\,HC} \right) = \angle HCA' = {45^0}\)
Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta HBC\) vuông tại \(B\) ta có:
\(\begin{array}{l}HC = \sqrt {H{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.\\ \Rightarrow A'H = HC.\tan {45^0} = HC = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.\\ \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'H.{S_{ABCD}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{2}.\end{array}\)
Chọn A.
Câu hỏi trước
