Phương pháp giải:

Vận dụng tỉ số của các cạnh để tính tỉ số thể tích

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD\). Trong \(\left( {SBD} \right)\) gọi \(I = MN \cap SO\). Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(P = AI \cap SC\).

\( \Rightarrow \) Thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {AMN} \right)\) là tứ giác \(AMPN\).

Ta có: \(\dfrac{{SM}}{{SB}} = \dfrac{{SN}}{{SD}} = \dfrac{{SI}}{{SO}} = \dfrac{2}{3}\) nên \(I\) là trọng tâm tam giác \(SBD\).

Xét tam giác \(SAC\) có \(SO\) là trung tuyến, \(\dfrac{{SI}}{{SO}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow I\) cũng là trọng tâm tam giác \(SAC\).

\( \Rightarrow P\) là trung điểm của \(SC\).

Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.AMP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SP}}{{SC}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}\)

\( \Rightarrow {V_{S.AMP}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\dfrac{1}{6}{V_{S.ABCD}}\) 

Tương tự ta cũng có: \({V_{S.ANP}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ABCD}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_1} = {V_{S.AMP}} + {V_{S.ANP}} = \dfrac{1}{3}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_2} = \dfrac{2}{3}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Chọn D.