Câu hỏi:
Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, \(M\) là điểm thuộc cạch \(SB,\,\,N\) là điểm thuộc cạnh \(SD\) sao cho\(SB = 3BM;\,\,SN = 2ND\). Mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai khối đa diện. Gọi \({V_1};\,\,{V_2}\) lần lượt là thể tích khối đa diện chứa đỉnh \(S\) và đỉnh \(C\). Tính tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)
Phương pháp giải:
Vận dụng tỉ số của các cạnh để tính tỉ số thể tích
Lời giải chi tiết:
Gọi \(O = AC \cap BD\). Trong \(\left( {SBD} \right)\) gọi \(I = MN \cap SO\). Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(P = AI \cap SC\).
\( \Rightarrow \) Thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {AMN} \right)\) là tứ giác \(AMPN\).
Ta có: \(\dfrac{{SM}}{{SB}} = \dfrac{{SN}}{{SD}} = \dfrac{{SI}}{{SO}} = \dfrac{2}{3}\) nên \(I\) là trọng tâm tam giác \(SBD\).
Xét tam giác \(SAC\) có \(SO\) là trung tuyến, \(\dfrac{{SI}}{{SO}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow I\) cũng là trọng tâm tam giác \(SAC\).
\( \Rightarrow P\) là trung điểm của \(SC\).
Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.AMP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SP}}{{SC}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}\)
\( \Rightarrow {V_{S.AMP}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\dfrac{1}{6}{V_{S.ABCD}}\)
Tương tự ta cũng có: \({V_{S.ANP}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ABCD}}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_1} = {V_{S.AMP}} + {V_{S.ANP}} = \dfrac{1}{3}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_2} = \dfrac{2}{3}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{1}{2}\end{array}\)
Chọn D.