Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = 3,\,\,AB = 1,\,\,AC = 2,\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)\). Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Mặt cầu tâm \(O\) và qua \(A\) cắt các tia \(SB,\,\,SC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\). Khi đó độ dài đoạn \(BC\) không thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp \(S.ADE\).
Phương pháp giải:
- Tính tỉ số thể tích giữa khối chóp \(S.ADE\) và khối chóp \(S.ABC\)
- Tính thể tích lớn nhất của khối chóp \(S.ABC\) để suy ra thể tích lớn nhất của khối chóp \(S.ABC\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {10} \\SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {13} \end{array} \right.\).
Gọi \(AM\) là đường kính lớn của mặt cầu ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}MB \bot AB\\MB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow MB \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow MB \bot AD\\AD \bot DM \Rightarrow AD \bot \left( {SBM} \right) \Rightarrow AD \bot SB\end{array}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(S{A^2} = SD.SB \Leftrightarrow \dfrac{{SD}}{{SB}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \dfrac{9}{{10}}\).
Tương tự ta cũng có: \(\dfrac{{SE}}{{SC}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{C^2}}} = \dfrac{9}{{13}}\).
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.ADE}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SD}}{{SB}}.\dfrac{{SE}}{{SC}} = \dfrac{{81}}{{130}} \Leftrightarrow {V_{S.ADE}} = \dfrac{{81}}{{130}}{V_{S.ABC}}\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{6}.SA.AB.AC.\sin A \le \dfrac{1}{6}.SA.AB.AC = 1\\ \Rightarrow {V_{S.ADE}} \le \dfrac{{81}}{{130}}\end{array}\)
Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp \(S.ADE\) là \(\dfrac{{81}}{{130}}\)
Chọn A.