Phương pháp giải:

+) Gọi \({A_1},\,\,{B_1},\,\,{C_1}\) lần lượt là trung điểm của \(AA',\,\,BB',\,\,CC'\).

+) Sử dụng phương pháp tổng, hiệu thể tích.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(V\) là thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

Gọi \({A_1},\,\,{B_1},\,\,{C_1}\) lần lượt là trung điểm của \(AA',\,\,BB',\,\,CC'\). Khi đó ta có \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)//\left( {ABC} \right)//\left( {A'B'C'} \right)\).

Khi đó \({V_{ABCMN}} = {V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} - {V_{A.{A_1}MN}} - {V_{B.{B_1}MP}} - {V_{C.{C_1}NP}}\).

Ta có \({V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{2}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{2}V\).

\({V_{A.{A_1}MN}} = \frac{1}{3}d\left( {A;\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)} \right).{S_{{A_1}MN}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}d\left( {\left( {ABC} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right).\frac{1}{4}{S_{ABC}} = \frac{1}{{24}}V\).

CMTT ta có \({V_{B.{B_1}MP}} = {V_{C.{C_1}NP}} = \frac{V}{{24}}\).

\( \Rightarrow {V_{ABCMN}} = \frac{1}{2}V - 3.\frac{V}{{24}} = \frac{{3V}}{8}\).

Ta có \(V = 8.\frac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} = 72\sqrt 3  \Rightarrow {V_{ABCMN}} = \frac{{3.72\sqrt 3 }}{8} = 27\sqrt 3 \)

Chọn  A.