Câu hỏi:
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có chiều cao bằng \(8\) và đáy là tam giác đều cạnh bằng \(6.\) Gọi \(M,\,\,N\) và \(P\) lần lượt là tâm của các mặt bên \(ABB'A',\,\,\,ACC'A'\) và \(BCC'B'.\) Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,M,\,\,N,\,\,P\) bằng:
Phương pháp giải:
+) Gọi \({A_1},\,\,{B_1},\,\,{C_1}\) lần lượt là trung điểm của \(AA',\,\,BB',\,\,CC'\).
+) Sử dụng phương pháp tổng, hiệu thể tích.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(V\) là thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Gọi \({A_1},\,\,{B_1},\,\,{C_1}\) lần lượt là trung điểm của \(AA',\,\,BB',\,\,CC'\). Khi đó ta có \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)//\left( {ABC} \right)//\left( {A'B'C'} \right)\).
Khi đó \({V_{ABCMN}} = {V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} - {V_{A.{A_1}MN}} - {V_{B.{B_1}MP}} - {V_{C.{C_1}NP}}\).
Ta có \({V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{2}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{2}V\).
\({V_{A.{A_1}MN}} = \frac{1}{3}d\left( {A;\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)} \right).{S_{{A_1}MN}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}d\left( {\left( {ABC} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right).\frac{1}{4}{S_{ABC}} = \frac{1}{{24}}V\).
CMTT ta có \({V_{B.{B_1}MP}} = {V_{C.{C_1}NP}} = \frac{V}{{24}}\).
\( \Rightarrow {V_{ABCMN}} = \frac{1}{2}V - 3.\frac{V}{{24}} = \frac{{3V}}{8}\).
Ta có \(V = 8.\frac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} = 72\sqrt 3 \Rightarrow {V_{ABCMN}} = \frac{{3.72\sqrt 3 }}{8} = 27\sqrt 3 \)
Chọn A.