Phương pháp giải:

Cách 1: Áp dụng công thức: ${A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right).$

Cách 2: Áp dụng công thức:  ${1^3} + {2^3} + ....{n^3} = {\left( {1 + 2 + ... + n} \right)^2}.$  

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Đặt $A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ...... + {2008^3}$ 

           $= {1^3} + {2008^3} + {2^3} + {2007^3} + ....... + {1004^3} + {1005^3}.$

Ta có:

$\begin{array}{l}{1^3} + {2008^3} = \left( {1 + 2008} \right)\left( {1 - 2008 + {{2008}^2}} \right) = 2009\left( {1 - 2008 + {{2008}^2}} \right)\\{2^3} + {2007^3} = \left( {2 + 2007} \right)\left( {{2^2} - 2.2007 + {{2007}^2}} \right) = 2009\left( {{2^2} - 2.2007 + {{2007}^2}} \right)\\.......\\{1004^3} + {1005^3} = \left( {1004 + 1005} \right)\left( {{{1004}^2} - 1004.1005 + {{1005}^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2009\left( {{{1004}^2} - 1004.1005 + {{1005}^2}} \right)\\ \Rightarrow A = 2009\left( {1 - 2008 + {{2008}^2}} \right) + 2009\left( {{2^2} - 2.2007 + {{2007}^2}} \right) + ....... + 2009\left( {{{1004}^2} - 1004.1005 + {{1005}^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2009\left( {1 - 2008 + {{2008}^2} + {2^2} - 2.2007 + {{2007}^2} + ...... + {{1004}^2} - 1004.1005 + {{1005}^2}} \right).\end{array}$

Ta có: $2009\,\, \vdots \,\,7 \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,7.$

$\Rightarrow$ Sau $A$ ngày nữa thì sẽ là ngày chủ nhật.

Cách 2:

Ta có:

$\begin{array}{l}A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ...... + {2008^3} = {\left( {1 + 2 + 3 + ..... + 2008} \right)^2}\\ = \frac{{2008\left( {2008 + 1} \right)}}{2} = 1004.2009\end{array}$

Vì $2009\,\, \vdots \,\,7 \Rightarrow 1004.2009\,\, \vdots \,\,7$

Khi đó ta có sau ${1^3} + {2^3} + {3^3} + ..... + {2008^3}$  ngày thì vẫn là ngày chủ nhật.

Chọn C.