Phương pháp giải:

Đối với dãy lũy thừa cùng cơ số như ở câu này, ta nhân hai vế với cơ số rồi xét hiệu.

Lời giải chi tiết:

Nhận xét: $1 = {5^0},\,\,\,5 = {5^1},\,\,\,......,\,\,{5^{2019}} = {5^{2019}}.$

$\Rightarrow B$  là tổng của dãy lũy thừa cùng cơ số $5,$ số mũ tăng dần từ $0$  đến $2019.$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,B = 1 + 5 + {5^2} + ..... + {5^{2019}}\\ \Rightarrow 5B = 5 + {5^2} + {5^3} + ...... + {5^{2019}} + {5^{2020}}\\ \Rightarrow 5B - B = {5^{2020}} - 1\\ \Rightarrow 4B = {5^{2020}} - 1\\ \Rightarrow B = \frac{{{5^{2020}} - 1}}{4}.\end{array}$

Chọn C.