Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(\forall {x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_1} \ne {x_2}\)   ta có :

\(H = \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\left( {x_2^2 + 2{x_2} - 5} \right) - \left( {x_1^2 + 2{x_1} - 5} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\left( {x_2^2 - x_1^2} \right) + 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2.\)

Do đó :

\( + )\,\,{x_1},\,\,{x_2} \in \left( { - \infty ;\,\, - 1} \right)\) thì \({x_1} + {x_2} + 2 < 0 \Rightarrow H < 0\)

\( \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right).\)

\( + )\,\,{x_1};\,\,{x_2} \in \left( { - 1; + \infty } \right) \Rightarrow {x_1} + {x_2} + 2 > 0 \Rightarrow H > 0.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\forall {x_1} \ne {x_2}\) ta có : 

\(\begin{array}{l}H = \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\left( { - 2x_2^2 + 4{x_2} + 1} \right) - \left( { - 2x_1^2 + 4{x_1} + 1} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{ - 2\left( {x_2^2 - x_1^2} \right) + 4\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_2}}} =  - 2\left( {{x_1} + {x_2} - 2} \right).\end{array}\)

Do đó :

\( + )\,\,{x_1},\,\,{x_2} \in \left( { - \infty ;\,\,1} \right) \Rightarrow {x_1} + {x_2} - 2 < 0 \Rightarrow H > 0.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\,\,1} \right).\)

\( + )\,\,{x_1},\,\,{x_2} \in \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow {x_1} + {x_2} - 2 > 0 \Rightarrow H < 0.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\forall {x_1},\,\,{x_2} \ne 1,\,\,{x_1} \ne {x_2}\) ta có :

\(H = \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\frac{1}{{1 - {x_2}}} - \frac{1}{{1 - {x_1}}}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{1 - {x_1} - 1 + {x_2}}}{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right)}} = \frac{1}{{\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right)}}\)

Do đó :

\( + )\,\,{x_1},\,\,{x_2} \in \left( { - \infty ;\,\,1} \right) \Rightarrow \left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) > 0 \Rightarrow H > 0.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\,\,1} \right).\)

\( + )\,\,{x_1},\,\,{x_2} \in \left( {1;\,\, + \infty } \right) \Rightarrow \left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) > 0 \Rightarrow H > 0\)

Vậy hàm số \(y = \frac{1}{{1 - x}}\)  đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\,\,1} \right),\,\,\left( {1; + \infty } \right).\) 

Chọn B.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ta có  \(\forall {x_1},\,\,{x_2} > 4,\,\,\,{x_1} \ne {x_2}\) ta có : 

\(\begin{array}{l}H = \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{\left( {\sqrt {{x_2} - 4}  + \sqrt {{x_2}}  + 1} \right) - \left( {\sqrt {{x_1} - 4}  + \sqrt {{x_1}}  + 1} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt {{x_2} - 4}  - \sqrt {{x_1} - 4} } \right) + \left( {\sqrt {{x_2} + 1}  - \sqrt {{x_1} + 1} } \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\ = \dfrac{{\dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{{\sqrt {{x_2} - 4}  + \sqrt {{x_1} - 4} }} + \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{{\sqrt {{x_2} + 1}  + \sqrt {{x_1} + 1} }}}}{{{x_2} - {x_1}}}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2} - 4}  + \sqrt {{x_1} - 4} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2} + 1}  + \sqrt {{x_1} + 1} }} > 0\end{array}\)

Do đó : Hàm số đồng biến trên \(\left( {4; + \infty } \right).\) 

Chọn B.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

+ Với  \({x_1},\,\,{x_2} > 2,\,\,{x_1} < {x_2}\) ta có :

\(\begin{array}{l}f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \left| {2{x_2} - 4} \right| + {x_2} - \left( {\left| {2{x_1} - 4} \right| + {x_1}} \right)\\ = 2{x_2} - 4 + {x_2} - \left( {2{x_1} - 4 + {x_1}} \right) = 3\left( {{x_2} - {x_1}} \right) > 0.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right).\)

Với \({x_1},\,\,{x_2} < 2,\,\,{x_1} < {x_2}\) ta có :

\(\begin{array}{l}f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \left| {2{x_2} - 4} \right| + {x_2} - \left( {\left| {2{x_1} - 4} \right| + {x_1}} \right)\\ =  - 2{x_2} + 4 + {x_2} - \left( { - 2{x_1} + 4 + {x_1}} \right) =  - \left( {{x_2} - {x_1}} \right) < 0.\end{array}\)  

\( \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\,\,2} \right).\)

Chọn D.