Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất đường trung trực và đường trung tuyến để làm bài toán.

Lời giải chi tiết:

Gọi $N$ là trung điểm của $BC \Rightarrow N \in d:\,\,x + y - 3 = 0 \Rightarrow N\left( {a;\,\,3 - a} \right).$

 $C \in CM:\,\,2x - y - 1 = 0 \Rightarrow C\left( {c;\,\,2c - 1} \right).$

Vì $N$ là trung điểm của $BC \Rightarrow B\left( {2a - c;\,\,7 - 2a - 2c} \right).$

Theo đề bài ta có $M$ là trung điểm của $AB \Rightarrow M\left( {\frac{{2a - c + 2}}{2};\,\,4 - a - c} \right).$

Lại có $M \in CM \Rightarrow 2.\frac{{2a - c + 2}}{2} - 4 + a + c - 1 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2a - c + 2 - 5 + a + c = 0\\ \Leftrightarrow 3a = 3 \Leftrightarrow a = 1\\ \Rightarrow N\left( {1;\,\,2} \right).\\ \Rightarrow B\left( {2 - c;\,\,5 - 2c} \right).\end{array}$ 

Gọi $P$ là giao điểm của $CM$ và $d \Rightarrow$ tọa độ của $P$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 1 = 0\\x + y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{4}{3}\\y = \frac{5}{3}\end{array} \right. \Rightarrow P\left( {\frac{4}{3};\,\,\frac{5}{3}} \right).$

Vì $P \in d \Rightarrow PB = PC$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow P{B^2} = P{C^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3} - 2 + c} \right)^2} + {\left( {\frac{5}{3} - 5 + 2c} \right)^2} = {\left( {\frac{4}{3} - c} \right)^2} + {\left( {\frac{5}{3} - 2c + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {c - \frac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {2c - \frac{{10}}{3}} \right)^2} = {\left( {\frac{4}{3} - c} \right)^2} + {\left( {\frac{8}{3} - 2c} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 5{c^2} - \frac{{44}}{3}c + \frac{{104}}{9} = 5{c^2} - \frac{{40}}{3}c + \frac{{80}}{9}\\ \Leftrightarrow \frac{4}{3}c = \frac{8}{3} \Leftrightarrow c = 2\\ \Rightarrow C\left( {2;\,\,3} \right).\\ \Rightarrow B\left( {0;\,\,1} \right).\end{array}$

Chọn  A.