Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích của tam giác để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có: $\left\{ \begin{array}{l}B \in \Delta :\,\,x + 3y - 8 = 0\\C \in d:\,\,x - 2y + 8 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( {8 - 3b;\,\,b} \right)\\C\left( {2c - 8;\,\,\,c} \right)\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {b < \frac{8}{3};\,\,c > 4} \right).$ 

Thay tọa độ điểm $A\left( {2;\,\,2} \right)$ vào phương trình đường thẳng $\Delta :\,\,x + 3y - 8 = 0$ ta được: $2 + 3.2 - 8 = 0$

$\Rightarrow A\left( {2;\,\,2} \right) \in \Delta .$

Theo đề bài ta có: ${S_{ABC}} = 17$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}AB.d\left( {C;\,\,AB} \right) = 17\\ \Leftrightarrow \sqrt {10} .\frac{{\left| {2c - 8 + 3c - 8} \right|}}{{\sqrt {1 + {3^2}} }} = 34\\ \Leftrightarrow \left| {5c - 16} \right| = 34\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5c - 16 = 34\\5c - 16 =  - 34\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 10\,\,\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow C\left( {12;\,\,10} \right)\\c =  - \frac{{18}}{5}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Lại có: $AB = \sqrt {10}  \Leftrightarrow A{B^2} = 10$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {8 - 3b - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 10\\ \Leftrightarrow {\left( {6 - 3b} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 10\\ \Leftrightarrow 10{\left( {b - 2} \right)^2} = 10\\ \Leftrightarrow {\left( {b - 2} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left| {b - 2} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b - 2 = 1\\b - 2 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 3\,\,\,\left( {ktm} \right)\\b = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {5;\,\,1} \right).\end{array}$

Chọn  B.