Phương pháp giải:

$M$ là trung điểm của $BC \Rightarrow BM = MC.$

$\Delta ABC$ vuông cân tại $A \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = AC\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

Gọi $B\left( {a;\,\,b} \right);\,\,C\left( {c;\,\,d} \right).$

Ta có $M\left( {3;\,2} \right)$ là trung điểm của $BC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + c = 6\\b + d = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 6 - a\\d = 4 - b\end{array} \right..$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B\left( {a;\,\,b} \right),\,\,\,C\left( {6 - a;\,\,4 - b} \right).\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {1 - a;\,\,2 - b} \right);\,\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {a - 5;\,\,b - 2} \right).\end{array}$ 

Vì $\Delta ABC$ cân tại $A \Rightarrow AB = AC$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} = {\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 1 - 2a + 4 - 4b = 25 - 10a - 4b + 4\\ \Leftrightarrow 8a = 24\\ \Leftrightarrow a = 3.\end{array}$

Lại có $\Delta ABC$ vuông tại $A \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1 - a} \right)\left( {a - 5} \right) + \left( {2 - b} \right)\left( {b - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - 2.\left( { - 2} \right) - {b^2} + 4b - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {b^2} - 4b = 0\\ \Leftrightarrow b\left( {b - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B\left( {3;\,\,0} \right)\\C\left( {3;\,\,4} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B\left( {3;\,\,4} \right)\\C\left( {3;\,\,0} \right)\end{array} \right.\end{array} \right..\end{array}$

Mà tung độ điểm $B$ lớn hơn tung độ điểm $C \Rightarrow B\left( {3;\,\,4} \right),\,\,C\left( {3;\,\,0} \right).$

Chọn  C.