Phương pháp giải:

Tính tọa độ của đỉnh $A$ là giao điểm của $AB,\,\,AC.$

Gọi tọa độ các đỉnh $B,\,\,C.$

Áp dụng tính chất trọng tâm tam giác để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $AC \cap AB = \left\{ A \right\} \Rightarrow$ tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x - 5y + 23 = 0\\4x + y + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 4\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;\,\,4} \right).$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}B \in AB:\,\,x - 5y + 23 = 0 \Rightarrow B\left( {5b - 23;\,\,b} \right)\\C \in AC:\,\,4x + y + 8 = 0 \Rightarrow C\left( {c;\,\, - 4c - 8} \right)\end{array} \right..$

Vì $G\left( { - 1;\,\,3} \right)$ là trọng tâm $\Delta ABC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 + 5b - 23 + c = 3.\left( { - 1} \right)\\4 + b - 4c - 8 = 3.3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5b + c = 23\\b - 4c = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 \Rightarrow B\left( {2;\,\,5} \right)\\c =  - 2 \Rightarrow C\left( { - 2;\,\,0} \right)\end{array} \right..$ 

Chọn  A.