Phương pháp giải:

Tìm tọa độ điểm C. $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi  $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}$

Lời giải chi tiết:

Vì $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_I} - {x_A} - {x_B} = 1\\{y_C} = 3{y_I} - {y_A} - {y_B} =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1; - 4} \right).$

Tứ giác$ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - 3 = 1 - {x_D}\\2 + 1 =  - 4 - {y_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 5\\{y_D} =  - 7\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {5; - 7} \right)$

Điểm $O$ là tâm  của hình bình hành $ABCD \Rightarrow O$  là trung điểm $AC$  và  $BD.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_O} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = 2\\{y_O} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} =  - \frac{5}{2}\end{array} \right. \Rightarrow O\left( {2; - \frac{5}{2}} \right).$           

Thử lại: Ta thấy $O\left( {2; - \frac{5}{2}} \right)$ cũng là trung điểm của $BD.$

Chọn  B.