Phương pháp giải:

\(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = MN\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \(MAD\) ta có

\(D{M^2} = A{M^2} + A{D^2} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + {a^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}\)\( \Rightarrow DM = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {MD} } \right| = MD = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Qua N kẻ đường thẳng song song với \(AD\) cắt\(AB\) tại \(P\).

Khi đó tứ giác \(ADNP\) là hình vuông và \(PM = PA + AM = a + \frac{a}{2} = \frac{{3a}}{2}\).

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \(NPM\) ta có

\(M{N^2} = N{P^2} + P{M^2} = {a^2} + {\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{4}\)\( \Rightarrow DM = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = MN = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\).

Chọn  A.