Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức $\sin a\sin b =  - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right];\,\,\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]$.

+) Sử dụng công thức nhân đôi: $\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x = 2{\cos ^2} - 1$.

+) Sử dụng công thức nhân ba: $\sin 3x = 3\sin x - 4{\sin ^3}x,\,\,\cos 3x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}A = \tan x\tan \left( {\dfrac{\pi }{3} - x} \right)\tan \left( {\dfrac{\pi }{3} + x} \right) \Leftrightarrow A = \tan x\dfrac{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - x} \right)\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} + x} \right)}}{{\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} + x} \right)}}\\ \Leftrightarrow A = \tan x\dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \dfrac{{2\pi }}{3} - \cos 2x} \right]}}{{\dfrac{1}{2}\left[ {\cos \dfrac{{2\pi }}{3} + \cos 2x} \right]}} \Leftrightarrow A = \tan x\dfrac{{ - \left( {\dfrac{{ - 1}}{2} - \cos 2x} \right)}}{{ - \dfrac{1}{2} + \cos 2x}}\\ \Leftrightarrow A = \tan x\dfrac{{\dfrac{1}{2} + \cos 2x}}{{ - \dfrac{1}{2} + \cos 2x}} \Leftrightarrow A = \tan x\dfrac{{2\cos 2x + 1}}{{2\cos 2x - 1}}\\ \Leftrightarrow A = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}\dfrac{{2\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 1}}{{2\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) - 1}} \Leftrightarrow A = \dfrac{{\sin x\left( { - 4{{\sin }^2}x + 3} \right)}}{{\cos x\left( {4{{\cos }^2}x - 3} \right)}}\\ \Leftrightarrow A = \dfrac{{3\sin x - 4{{\sin }^3}x}}{{4{{\cos }^3}x - 3\cos x}} = \dfrac{{\sin 3x}}{{\cos 3x}} = \tan 3x\end{array}$

Vậy $n = 3$.

Chọn D.