Phương pháp giải:

$d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SAC}}}}$

Lời giải chi tiết:

Gọi $I$ là trung điểm của $SA$.

Tam giác $SAB,\,\,SAC$ là các tam giác vuông tại $B,\,C \Rightarrow IS = IA = IB = IC$.

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác đều $ABC \Rightarrow IG \bot \left( {ABC} \right)$.

Trong $\left( {SAG} \right)$ kẻ $SH//IG\,\,\left( {H \in CG} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)$. Dễ thấy khi đó $IG$ là đường trung bình của tam giác $SAH \Rightarrow SH = 2IG$.

Tam giác $ABC$ đều cạnh $2a \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.

Ta có $\angle \left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SA;AH} \right) = \angle SAH = {45^0}$.

$\Rightarrow \Delta AIG$ vuông cân tại $G \Leftrightarrow IG = AG = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow SH = 2IG = \dfrac{{4a\sqrt 3 }}{3}$.

$\Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{4a\sqrt 3 }}{3}\dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{4{a^3}}}{3}$.

Ta có $GA = GB = GC$; $GA = GH$ ($IG$ là đường trung bình của tam giác $SAH$)

$\Rightarrow GA = GB = GC = GH \Rightarrow G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABHC$.

$\Rightarrow AH$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABHC$.

$\Leftrightarrow \angle ACH = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có: $AH = 2AG = \dfrac{{4a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow CH = \sqrt {A{H^2} - A{C^2}}  = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$.

$\Rightarrow SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{4a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}  = \dfrac{{2\sqrt {15} a}}{3}$.

${S_{\Delta SAC}} = \dfrac{1}{2}SC.AC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2\sqrt {15} a}}{3}.2a = \dfrac{{2\sqrt {15} {a^2}}}{3}$.

Vậy $d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SAC}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{4{a^3}}}{3}}}{{\dfrac{{2\sqrt {15} {a^2}}}{3}}} = \dfrac{{2a\sqrt {15} }}{5}$.

Chọn B.