Phương pháp giải:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại $x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = \dfrac{3}{2}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {ax + 2} \right) = a + 2\end{array}$

Để để hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \Leftrightarrow a + 2 = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow a =  - \dfrac{1}{2}$.

Chọn A.