Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích xung qunh hình nón có bán kính đáy là \(R,\) đường sinh \(l\) là: \({S_{xq}} = \pi Rl.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow d\left( {O;AB} \right) = OH = 2a.\)

Gọi bán kính của đường tròn đáy là \(R = OA.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}}  = \sqrt {{R^2} - 4{a^2}}  \Rightarrow AB = 2AH = 2\sqrt {{R^2} - 4{a^2}} .\end{array}\)

Ta có: \(\Delta SAB\) là tam giác cân tại \(S.\)

Lại có \(\angle SAB = {60^0} \Rightarrow \Delta SAB\) là tam giác đều \( \Rightarrow SA = SB = AB.\)

Xét \(\Delta SAO\) vuông tại\(S\)  ta có:

\(\eqalign{
& \cos SAO = {{OA} \over {SA}} = {{\sqrt 3 } \over 2} \Leftrightarrow {R \over {2\sqrt {{R^2} - 4{a^2}} }} = {{\sqrt 3 } \over 2} \cr
& \Leftrightarrow R = \sqrt 3 .\sqrt {{R^2} - 4{a^2}} \Leftrightarrow {R^2} = 3{R^2} - 12{a^2} \cr
& \Leftrightarrow {R^2} = 6{a^2} \Leftrightarrow R = a\sqrt 6 \Rightarrow SA = AB = 2\sqrt {{R^2} - 4{a^2}} = 2\sqrt 2 a. \cr
& \Rightarrow {S_{xq}} = \pi R.SA = \pi .a\sqrt 6 .2\sqrt 2 a = 4\sqrt 3 \pi {a^2}. \cr} \)

Chọn  C.