Phương pháp giải:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi $O = AC \cap BD$. Do chóp $S.ABCD$ đều $\Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

Trong $\left( {SBD} \right)$ kẻ $MH//SO\,\,\left( {H \in BD} \right) \Rightarrow MH \bot \left( {ABCD} \right)$.

$\Rightarrow \angle \left( {BM;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {BM;BH} \right) = \angle MBH$.

$ABCD$ là hình vuông cạnh $a \Rightarrow AC = BD = a\sqrt 2$.

$\Rightarrow OB = OD = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Dễ thấy $MH$ là đường trung bình của $\Delta SOD \Rightarrow H$ là trung điểm của $OD$ và $MH = \dfrac{1}{2}SO$.

$\Rightarrow BH = \dfrac{3}{4}BD = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}$ và $MH = \dfrac{1}{2}SO = \dfrac{1}{2}\sqrt {S{D^2} - O{D^2}}  = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}}  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}$.

Trong tam giác vuông $BMH$ có: $\tan \angle MBH = \dfrac{{MH}}{{BH}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{{\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}}} = \dfrac{1}{3}$.

Vậy $\tan \angle \left( {BM;\left( {ABCD} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}$.

Chọn B.