Phương pháp giải:

Dùng nhân liên hợp để tính giới hạn dãy số. 

Lời giải chi tiết:

Xét $a \le 0$  thì  $\mathop {\lim }\limits_{} {u_n} \ge \lim \sqrt {2{n^2} + n}  =  + \infty$, dãy số không có giới hạn hữu hạn.

Xét $a > 0$ , ta có:

 $\begin{array}{l}{u_n} = \sqrt {2{n^2} + n}  - a\sqrt {2{n^2} - n}  = \frac{{\left( {\sqrt {2{n^2} + n}  - a\sqrt {2{n^2} - n} } \right)\left( {\sqrt {2{n^2} + n}  + a\sqrt {2{n^2} - n} } \right)}}{{\sqrt {2{n^2} + n}  + a\sqrt {2{n^2} - n} }}\\ = \frac{{2{n^2} + n - {a^2}\left( {2{n^2} - n} \right)}}{{\sqrt {2{n^2} + n}  + a\sqrt {2{n^2} - n} }} = \frac{{2\left( {1 - {a^2}} \right){n^2} + n\left( {1 + {a^2}} \right)}}{{\sqrt {2{n^2} + n}  + a\sqrt {2{n^2} - n} }}\\ \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \frac{{2\left( {1 - {a^2}} \right){n^2} + n\left( {1 + {a^2}} \right)}}{{\sqrt {2{n^2} + n}  + a\sqrt {2{n^2} - n} }} = \lim \frac{{2\left( {1 - {a^2}} \right)n + \left( {1 + {a^2}} \right)}}{{\sqrt {2 + \frac{1}{n}}  + a\sqrt {2 - \frac{1}{n}} }}\end{array}$

 $\Rightarrow$ Hàm giới hạn đã cho là  giới hạn hữu hạn thì $1 - {a^2} = 0 \Leftrightarrow a = 1\,\,\,\,\,\left( {a > 0} \right).$

Chọn D.