Phương pháp giải:

Xác định công thức tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đó tính giới hạn của dãy số.

Đặt \({v_n} = {u_n} + \frac{1}{2}\). Ta có: \({v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} + \frac{1}{2} = 2{u_n} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2\left( {{u_n} + \frac{1}{2}} \right) = 2{v_n}\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \({v_n} = {u_n} + \frac{1}{2}\).  Ta có: \({v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} + \frac{1}{2} = 2{u_n} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2\left( {{u_n} + \frac{1}{2}} \right) = 2{v_n}\)

Vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân có \({v_1} = \frac{3}{2}\) và \(q = 2\).

Vậy \({v_n} = \frac{3}{2}{.2^{n - 1}} = {3.2^{n - 2}}\).

Do đó \(\lim {v_n} = \lim \left( {{{3.2}^{n - 2}}} \right) =  + \infty \). Suy ra \(\lim {u_n} =  + \infty \).

Chọn A.