Phương pháp giải:

Xét các trường hợp ${m^2} \ge 4;\,\,\,{m^2} < 4.$ 

Lời giải chi tiết:

Đặt  $f\left( x \right) = \left( {{m^2} - 4} \right){x^4} + {x^3} + {x^2} + 2$

Với  $m = 1$ ta có phương trình  $- 3{x^4} + {x^3} + {x^2} + 2 = 0$.

Có $f\left( 0 \right) = 2;\,\,f\left( { - 1} \right) =  - 1 \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( { - 1} \right) =  - 2 < 0 \Rightarrow$  phương trình có nghiệm trong $\left( { - 1;\,\,0} \right).$

Với $m = 2$ ta có  phương trình ${x^3} + {x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow x \approx  - 1,69 \Rightarrow$  phương trình có nghiệm.

Với $m \ge 3$ , ta có $\left( {{m^2} - 4} \right){x^4} + {x^3} + {x^2} + 2 = \left( {{m^2} - 5} \right){x^4} + {\left( {{x^2} + \frac{x}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}{x^2} + 2 > 0 \Rightarrow$ phương trình trên vô nghiệm.

Tổng các giá trị $m$  thỏa mãn bài toán là: $1 + 2 = 3.$

Chọn B.