Câu 9 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì: \({{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\eqalign{
& {{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\cr& \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \le 2\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\cr & \Leftrightarrow {a^3} + a{b^2} + {a^2}b + {b^3} \le 2{a^3} + 2{b^3} \cr 
& \Leftrightarrow {a^3} - a{b^2} - {a^2}b + {b^3} \ge 0 \cr 
&  \Leftrightarrow a\left( {{a^2} - {b^2}} \right) - b\left( {{a^2} - {b^2}} \right) \ge 0\cr &\Leftrightarrow (a - b)({a^2} - {b^2}) \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow {(a - b)^2}(a + b) \ge 0 \cr} \)

Điều suy ra luôn đúng do với a ≥ 0; b ≥ 0 thì (a - b)² ≥ 0, a + b ≥ 0.

Vậy  \({{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\).

Dấu "=" xảy ra khi 

\(\left[ \begin{array}{l}
{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\
a + b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b\)

Loigiaihay.com