Câu 82 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập Câu 82 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AD’, điểm N thuộc đoạn thẳng BD sao cho

\(AM = DN = x\left( {0 < x < a\sqrt 2 } \right)\)

a) Tìm x để đoạn thẳng MN có độ dài ngắn nhất.

b) Khi MN ngắn nhất, hãy chứng tỏ MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB, đồng thời MN // A’C.

Lời giải chi tiết

 

a) Kẻ \(MH \bot A{\rm{D}}\) thì \(MH \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\) và \(MH = {{x\sqrt 2 } \over 2} = AH\).

Kẻ \(NK \bot A{\rm{D}}\) thì \(NK = {{x\sqrt 2 } \over 2} = DK\).

Vậy \(KH = \left| {a - x\sqrt 2 } \right|\).

Ta có:

\(\eqalign{  & M{N^2} = M{H^2} + H{K^2} + K{N^2}  \cr  &  = 3{{\rm{x}}^2} - 2a\sqrt 2 x + ah2 \cr} \)

Từ đó MN nhỏ nhất khi và chỉ khi \(x = {{a\sqrt 2 } \over 3}\).

b) Khi \(x = {{a\sqrt 2 } \over 3}\) thì

\(\eqalign{  & M{N^2} = {{3{{\rm{a}}^2}} \over 9} = {{{a^2}} \over 3};  \cr  & A{M^2} = {{2{{\rm{a}}^2}} \over 9};  \cr  & A{N^2} = A{{\rm{D}}^2} + D{N^2} - 2{\rm{AD}}{\rm{.DNcos4}}{{\rm{5}}^0} = {{5{a^2}} \over 9} \cr} \)

Từ đó \(A{N^2} = A{M^2} + M{N^2}\) hay \(MN \bot A{\rm{D}}'\).

Chứng minh tương tự như trên, ta cũng có \(MN \bot B{\rm{D}}\).

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD.

Khi \(DN = {{a\sqrt 2 } \over 3}\) thì NB = 2ND.

Gọi I là trung điểm của AD thì ta có I, N, C thẳng hàng

 

Tương tự ta cũng có các điểm I, M, A’ thẳng hàng.

Xét tam giác A’IC ta có:

\({{IN} \over {NC}} = {{IM} \over {MA'}} = {1 \over 2}\)

Vậy MN // A’C.

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close