Câu 71 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập Câu 71 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Cho M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A­1D1 của hình hộp ABCD.A1B1C1D1.

a) Xác định giao điểm P và Q của mặt phẳng (CMN) với các đường thẳng B1C1 và DB1.

b) Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {AQ} \) qua các vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \)  trong đó \(\overrightarrow b  = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow c  = \overrightarrow {A{\rm{D}}} ,\overrightarrow a  = \overrightarrow {A{A_1}} \).

Lời giải chi tiết

 

a) Đặt \(\overrightarrow {A{A_1}}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow c \).

P là giao điểm của mp(CMN) với đường thẳng B1C1 khi và chỉ khi C, M, N, P thuộc một mặt phẳng và P thuộc đường thẳng B1C1.

Ta có các điểm M, N, C, P thuộc một mặt phẳng nên tồn tại các số x, y, z sao cho:

\(x + y + z = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

và \(\overrightarrow {AP}  = x\overrightarrow {AM}  + y\overrightarrow {AN}  + z\overrightarrow {AC.} \)

Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AP}  = x.{{\overrightarrow b } \over 2} + y\left( {\overrightarrow a  + {{\overrightarrow c } \over 2}} \right) + z\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)  \cr  &  = y\overrightarrow a  + \left( {{x \over 2} + z} \right)\overrightarrow b  + \left( {{y \over 2} + z} \right)\overrightarrow c \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr} \)

Vì P thuộc đường thẳng B1C1 nên \(\overrightarrow {{B_1}P}  = t\overrightarrow {{B_1}{C_1}} \), từ đó \(\overrightarrow {AP}  = \overrightarrow b  + \overrightarrow a  +t \overrightarrow c \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) và do \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng nên

\(\left\{ \matrix{  y = 1 \hfill \cr  {x \over 2} + z = 1 \hfill \cr  {y \over 2} + z = t \hfill \cr}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\)

Kết hợp (*) và (**), ta có:

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{  y = 1 \hfill \cr  {x \over 2} + z = 1 \hfill \cr  {y \over 2} + z = t \hfill \cr  x + y + z = 1 \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \Rightarrow z =  - x \Rightarrow {x \over 2} - x = 1 \Leftrightarrow x =  - 2  \cr  &  \Rightarrow z = 2,t = {5 \over 2} \cr} \)

Vậy giao điểm của mp(CMN) với đường thẳng B1C1 là điểm P xác định bời

\(\overrightarrow {{B_1}P}  = {5 \over 2}\overrightarrow {{B_1}{C_1}} \) .

Tương tự như trên, nếu gọi Q là giao điểm của mp(CMN) với đường thẳng B1D thì ta có \(x + y + z = 1\).

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AQ}  = x\overrightarrow {AM}  + y\overrightarrow {AN}  + z\overrightarrow {AC}   \cr  &  = y\overrightarrow a  + \left( {{x \over 2} + z} \right)\overrightarrow b  + \left( {{y \over 2} + z} \right)\overrightarrow c  \cr} \)

Mặt khác

\(\overrightarrow {AQ}  = \overrightarrow b  + \overrightarrow a  + t\overrightarrow {{B_1}D}\)

\(  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + t\left( { - \overrightarrow a  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) \)

\(= \left( {1 - t} \right)\overrightarrow a  + \left( {1 - t} \right)\overrightarrow b  + t\overrightarrow c\)

Ta có hệ phương trình sau:

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{  y = 1 - t \hfill \cr  {x \over 2} + z = 1 - t \hfill \cr  {y \over 2} + z = t \hfill \cr  x + y + z = 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x \over 2} - y + z = 0 \hfill \cr  x + y + z = 1 \hfill \cr  {x \over 2} + {y \over 2} + 2{\rm{z}} = 1 \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \Rightarrow 1 - z = 2 - 4{\rm{z}} \Leftrightarrow z = {1 \over 3}  \cr  &  \Rightarrow x = {2 \over 9},y = {4 \over 9},t = {5 \over 9}. \cr} \)

Vậy giao điểm Q của đường thẳng B1D với mp(CMN) được xác định bởi

\(\overrightarrow {{B_1}Q}  = {5 \over 9}\overrightarrow {{B_1}D} \)

b) Từ kết quả của câu a), ta có :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AP}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + {5 \over 2}\overrightarrow c   \cr  & \overrightarrow {AQ}  = {4 \over 9}\overrightarrow a  + {4 \over 9}\overrightarrow b  + {5 \over 9}\overrightarrow c  \cr} \).

Loigiaihay.com

Quảng cáo
close