Bài 7 trang 99 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ với $H$ là trực tâm. Biết phương trình của đường thẳng $AB, BH$ và $AH$ lần lượt là: $4x + y – 12 = 0, 5x – 4y – 15 = 0$ và $2x + 2y – 9 = 0$

Hãy viết phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba.

Lời giải chi tiết

$A = AH \cap AB$ nên tọa độ đỉnh $A$ là nghiệm của hệ: 

$\left\{ \matrix{ 4x + y - 12 = 0 \hfill \cr 2x + 2y - 9 = 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{5}{2}\\ y = 2 \end{array} \right.$

$\Rightarrow A({5 \over 2},2)$

$BH : 5x – 4y – 15 = 0$ $\Rightarrow \overrightarrow {{n_{BH}}}  = \left( {5; - 4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{BH}}}  = \left( {4;5} \right)$

$AC \bot BH \Rightarrow AC$ nhận $\overrightarrow {{u_{BH}}}  = \left( {4;5} \right)$ làm một vecto pháp tuyến.

Mà $AC$ đi qua $A({5 \over 2},2)$ nên $AC:4.(x - {5 \over 2}) + 5(y - 2) = 0$$\Leftrightarrow 4x + 5y - 20 = 0$

$B = AB \cap BH$ nên tọa độ đỉnh $B$ là nghiệm của hệ: 

$\left\{ \matrix{ 4x + y - 12 = 0 \hfill \cr 6x - 4y - 15 = 0 \hfill \cr} \right.$ 

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = 0 \end{array} \right.$

$\Rightarrow B(3,0)$

$AH: 2x + 2y – 9 = 0$ có $\overrightarrow {{n_{AH}}}  = \left( {2;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{AH}}}  = \left( {1; - 1} \right)$ là VTCP.

$BC \bot AH$ nên nhận $\overrightarrow {{u_{AH}}}  = \left( {1; - 1} \right)$ làm VTPT

$\Rightarrow BC:- 1(x - 3) + (y - 0) = 0$$\Leftrightarrow x - y - 3 = 0$

$H = BH \cap AH$ nên tọa độ $H$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{ 5x - 4y - 15 = 0 \hfill \cr 2x + 2y - 9 = 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{{11}}{3}\\ y = \dfrac{5}{6} \end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\dfrac{{11}}{3};\dfrac{5}{6}} \right)$

$AB:4x + y - 12 = 0$ $\Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {4;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{AB}}}  = \left( {1; - 4} \right)$ là VTCP của $AB$.

$CH \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {{n_{CH}}}  = \overrightarrow {{u_{AB}}}  = \left( {1; - 4} \right)$ là VTPT của $CH$.

Mà $CH$ đi qua $H$ nên:

$CH:1\left( {x - \dfrac{{11}}{3}} \right) - 4\left( {y - \dfrac{5}{6}} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x - 4y - \dfrac{1}{3} = 0$ $\Leftrightarrow 3x - 12y - 1 = 0$

Vậy: $AC: 4x + 5y - 20 = 0$

$BC:x - y - 3 = 0$

$CH: 3x - 12y - 1 = 0$

Loigiaihay.com