Câu 69 trang 63 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Gọi E là giao điểm của AD và BC; M là trung điểm của AB; G là trọng tâm của tam giác ECD.

Quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang  \(\left( {AB//CD,\,AB > CD} \right).\) Gọi E là giao điểm của AD và BC; M là trung điểm của AB; G là trọng tâm của tam giác ECD.

a) Chứng minh rằng các điểm S, E, M, G cũng thuộc một mặt phẳng và mặt phẳng này cắt cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) theo cùng một đường thẳng \(\Delta \).

b) Gọi \({C_1}\) và \({D_1}\) là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh SC, SD sao cho \(A{D_1}\) và \(B{C_1}\) cắt nhau tại K. Chứng minh các điểm S, K, E thẳng hàng và giao điểm \({O_1}\) của \(A{C_1}\) với \(B{D_1}\) thuộc \(\Delta \).

Lời giải chi tiết

a) Gọi N là giao điểm của EM và CD. Do M là trung điểm của AB và AB // CD nên N cũng là trung điểm của CD; suy ra G thuộc EM, hay \(G \in mp\left( {SEM} \right),\) tức là các điểm S, E, M , G thuộc mp(SEM).

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì đường thẳng MN đi qua O. Vậy ba mặt phẳng (SEM), (SAC) và (SBD) đều có chung hai điểm S và O nên SO chính là giao tuyến chung \(\Delta \) của ba mặt phẳng trên.

b) Vì K thuộc \(A{D_1}\) và \(B{C_1}\) nên tương ứng K thuộc mp(SAD) và mp(SBC). Do đó K nằm trên giao tuyến SE của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Vậy ba điểm S, E, K thẳng hàng.

Điểm \({O_1}\) nằm trên \(A{C_1}\) và \(B{D_1}\) nên \({O_1}\) phải thuộc (SAC) và (SBD) (do \(A{C_1} \subset \left( {SAC} \right),\,B{D_1} \subset \left( {SBD} \right)\)). Từ đó, suy ra \({O_1}\) phải thuộc giao tuyến \(\Delta \) của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close