Câu 23 trang 116 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình \(2x - 1 ≥ 0\).

\(2x - 1 + {1 \over {x - 3}} \ge {1 \over {x - 3}}\) và \(2x - 1 - {1 \over {x + 3}} \ge  - {1 \over {x + 3}}\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge 1 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\)

Do đó, tập nghiệm của bpt \(2x - 1 \ge 0\) là \(S = {\rm{[}}{1 \over 2}; + \infty )\).

Xét bpt \(2x - 1 + {1 \over {x - 3}} \ge {1 \over {x - 3}}\).

ĐK: \(x\ne 3\).

Ta có: \(2x - 1 + \frac{1}{{x - 3}} \ge \frac{1}{{x - 3}}\) \( \Rightarrow 2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\)

Kết hợp \(x\ne 3\) ta được tập nghiệm của bpt là \(S_1 = {\rm{[}}{1 \over 2}; + \infty )\)\(\backslash \left\{ 3 \right\}\)

Dễ thấy \(S_1\) khác S nên hai bpt không tương đương.

Xét bpt \(2x - 1 - {1 \over {x + 3}} \ge  - {1 \over {x + 3}}\).

ĐK: \(x\ne -3\)

Ta có: \(2x - 1 - \frac{1}{{x + 3}} \ge  - \frac{1}{{x + 3}}\) \( \Rightarrow 2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\)

Kết hợp điều kiện \(x\ne -3\) ta được \(S_3 = {\rm{[}}{1 \over 2}; + \infty )=S\)

Vậy \(2x - 1 \ge 0 \) \(\Leftrightarrow 2x - 1 - {1 \over {x + 3}} \ge  - {1 \over {x + 3}}\)

Loigiaihay.com