Câu 21 trang 214 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Tìm các căn bậc hai của các số phức:

-8 + 6i;  3 + 4i;  $1 - 2\sqrt 2 i$

Lời giải chi tiết

* Gọi x+yi là căn bậc hai của -8+6i, ta có:

(x+yi)²=-8+6i <=>(x²-y² )+2xyi=-8+6i

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = - 8 \hfill \cr  2xy = 6 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{3}{x}\\ {x^2} - \frac{9}{{{x^2}}} = - 8 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{3}{x}\\ {x^4} + 8{x^2} - 9 = 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{3}{x}\\ \left[ \begin{array}{l} {x^2} = 1\\ {x^2} = - 9\left( {loai} \right) \end{array} \right. \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr  y = 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr  \left\{ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr  y = - 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$

Hai căn bậc hai cần tìm là 1 + 3i và -1 – 3i

* Gọi x+yi là căn bậc hai của 3+4i, ta có:

(x+yi)²=3+4i <=>(x²-y² )+2xyi=3+4i

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 3 \hfill \cr  2xy = 4 \hfill \cr} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{2}{x}\\ {x^2} - \frac{4}{{{x^2}}} = 3 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{2}{x}\\ {x^4} - 3{x^2} - 4 = 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{2}{x}\\ \left[ \begin{array}{l} {x^2} = 4\\ {x^2} = - 1\left( {loai} \right) \end{array} \right. \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr  y = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr  \left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr  y = - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$     

Hai căn bậc hai cần tìm là 2 + i; -2 – i

* Gọi x+yi là căn bậc hai của $1 - 2\sqrt 2 i$, ta có:

(x+yi)²=$1 - 2\sqrt 2 i$

<=>(x²-y² )+2xyi=$1 - 2\sqrt 2 i$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 1 \hfill \cr  2xy = - 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = - \frac{{\sqrt 2 }}{x}\\ {x^2} - \frac{2}{{{x^2}}} = 1 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = - \frac{{\sqrt 2 }}{x}\\ {x^4} - {x^2} - 2 = 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = - \frac{{\sqrt 2 }}{x}\\ \left[ \begin{array}{l} {x^2} = 2\\ {x^2} = - 1\left( {loai} \right) \end{array} \right. \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x = \sqrt 2 \hfill \cr  y = - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr  \left\{ \matrix{ x = - \sqrt 2 \hfill \cr  y = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$ 

Hai căn bậc hai cần tìm là:  $\sqrt 2  - i;\,\, - \sqrt 2  + i$

Loigiaihay.com