tuyensinh247

Câu 12 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập Câu 12 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Cho hai đường thẳng ∆, ∆1 cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), (γ) lần lượt tại A, B, C và A1, B1, C1. Với điểm O bất kì trong không gian, đặt \(\overrightarrow {OI}  = \overrightarrow {A{A_1}} ,\overrightarrow {OJ}  = \overrightarrow {B{B_1}} ,\overrightarrow {OK}  = \overrightarrow {C{C_1}} \) . Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết, ta có:

\(\overrightarrow {OI}  = \overrightarrow {A{A_1}} ,\overrightarrow {OJ}  = \overrightarrow {B{B_1}} ,\overrightarrow {OK}  = \overrightarrow {C{C_1}} \) .

Do (α), (β), (γ) song song với  nhau, hai đường thẳng ∆, ∆1 cắt chúng lần lượt tại A, B, C và A1, B1, C1 nên theo định lí Ta-lét, ta có:

\(\overrightarrow {BA}  = k\overrightarrow {BC} \)  và \(\overrightarrow {{B_1}{A_1}}  = k\overrightarrow {{B_1}{C_1}} \)

Từ \(\overrightarrow {BA}  = k\overrightarrow {BC} \)  nên với điểm O, ta có:

\(\overrightarrow {OB}  = {{\overrightarrow {OA}  - k\overrightarrow {OC} } \over {1 - k}}\)

Tương tự, ta cũng có:

\(\overrightarrow {O{B_1}}  = {{\overrightarrow {O{A_1}}  - k\overrightarrow {O{C_1}} } \over {1 - k}}\)

Từ đó: \(\overrightarrow {B{B_1}}  = \overrightarrow {O{B_1}}  - \overrightarrow {OB}  = {{\overrightarrow {A{A_1}} } \over {1 - k}} - {k \over {1 - k}}\overrightarrow {C{C_1}} \)

hay \(\overrightarrow {OJ}  = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow {OI}  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow {OK} \)

Lấy O trùng với I, ta có \(\overrightarrow {IJ}  =  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow {IK} \)

Như vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close