Cách tính góc giữa hai mặt phẳng bằng phương pháp toạ độ - Toán 12

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) tương ứng có các vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n'}  = (A';B';C')\). Khi đó, góc giữa \((\alpha )\) và \((\beta )\), kí hiệu là \(\left( {(\alpha ),(\beta )} \right)\) được tính theo công thức:

\(\cos ((\alpha ),(\beta )) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\).

Lưu ý:

+ \({0^o} \le \left( {(\alpha ),(\beta )} \right) \le {90^o}\).

+ Nếu \((\alpha )\)//\((\beta )\) hoặc \((\alpha ) \equiv (\beta )\) thì \(\left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = {0^o}\).

+ \((\alpha ) \bot (\beta ) \Leftrightarrow \left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = {90^o}\).

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng: :\((\alpha )\) \(2x + 2y - 4z + 1 = 0\) và \((\beta )\): \(x - z - 5 = 0\).

Giải:

Mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = (2;2; - 4)\) và \(\overrightarrow {n'}  = (1;0; - 1)\).

Ta có: \(\cos ((\alpha ),(\beta )) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 2.0 + ( - 4).( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(\left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = {30^o}\).