Cách tìm nguyên hàm của hàm số mũ - Toán 12

Một số công thức tính nguyên hàm của hàm số mũ:

+ \(\int {{e^x}dx}  = {e^x} + C\);

+ \(\int {{a^x}dx}  = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\) \((a > 0,a \ne 1)\);

Công thức mở rộng:

+ \(\int {{e^u}du}  = {e^u} + C\);

+ \(\int {{a^u}du}  = \frac{{{a^u}}}{{\ln a}} + C\) \((a > 0,a \ne 1)\);

+ \(\int {{e^{ax + b}}dx}  = \frac{1}{a}{e^{ax + b}} + C\) \((a \ne 0)\).

Tìm:

a) \(\int {{4^x}dx} \);

b) \(\int {\frac{1}{{{e^x}}}dx} \);

c) \(\int {\left( {{{2.3}^x} - \frac{1}{3}{{.7}^x}} \right)dx} \).

 Giải:

a) \(\int {{4^x}dx} = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C\);

b) \(\int {\frac{1}{{{e^x}}}dx} = \int {{{\left( {\frac{1}{e}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{e}} \right)}^x}}}{{\ln \frac{1}{e}}} + C = - {e^{ - x}} + C\);

c) \(\int {\left( {{{2.3}^x} - \frac{1}{3}{{.7}^x}} \right)dx} = 2\int {{3^x}} dx - \frac{1}{3}\int {{7^x}} dx = \frac{{{{2.3}^x}}}{{\ln 3}} - \frac{{{7^x}}}{{3\ln 7}} + C\).